КОММЕНТАРИИ К СТАТЬЕ "ОДНОРОДНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ И ПОСЛЕДНЯЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА " (всего комментариев: 11. Внизу этой страницы Вы можете добавить свой комментарий)
Как известно, в последней теореме Ферма (ПТФ) утверждается, что невозможно отыскать тройку положительных чисел , удовлетворяющих уравнению
Xn+En=Zn (1)
ни при каких N>2.
Попытки доказать ПТФ методами теории чисел позволили получить доказательство хотя и для большого, но ограниченного числа показателей (N ~ 100).
Первым доказал ПТФ для N=3,4 Эйлер (1768 г.). Все дальнейшие исследователи ПТФ: (Лежандр, Дирихле, Ламе, Лебег, Куммер и др.) использовали и развивали основные идеи Эйлера о разложении двучлена, стоящего в левой части уравнения (1) на простые, далее неразложимые множители. После работ Куммера среди математиков, в основном специалистов в области теории чисел укоренилось мнение, что ПТФ можно доказать только с помощью методов теории чисел.
Однако анализ предшествующих результатов привёл автора этой работы к глубокому убеждению, что доказать ПТФ можно только алгебраическими методами (точнее методами теории многочленов).
Основными этапами доказательства являются:
Рассмотрение уравнения Ф. как алгебраического тождества, в котором алгебраические свойства обеих частей уравнения одинаковы.
Представление числового двучлена в уравнении (1) однородным многочленом двух переменных (ом2п) степени N (бинарной формой той же степени).
Анализ свойств делимости ом2п: связь ом2п степени N с многочленами одной переменной той же степени (изоморфизм), определённых над единым числовым полем; представление ом2п в виде произведения ом2п меньших степеней.
Доказательство вспомогательной теоремы о возможности и единственности разложения ом2п на простые сомножители: – ом2п первой степени (линейные бинарные формы).
Представление числа Z в виде ом2п степени N при рассмотрении уравнения Ф. в виде произведения простых сомножителей. При этом, поскольку в уравнении число Z представлено N – ой степенью, каждый из сомножителей (согласно свойству произведения) также должен быть представлен N – степенью.
Представление обеих частей уравнения Ф в форме произведения простых сомножителей, при котором каждому сомножителю с номером k слева соответствовал сомножитель с таким же номером – справа, позволило условия существования решения представить в форме системы из N уравнений относительно двух неизвестных Х,У.
Эта система имеет решение при N=2 b и не имеет решения при N>2.
А как же Серпинский? (написал Elfhybr 10.04.2013 23:35:37)
Это усложнение можно проиллюстрировать на примере решения уравнения, обобщающего известную теорему Пифагора на случай трёх переменных (эта задача до сих пор не была решена):
А как же Серпинский "Пифагоровы треугольники", гл. 15? Там есть решение на случай трёх переменных (параллелепипед, стороны и диагональ которого выражаются нат. числами)!
Мать уравнения Ферма (написал trinity 20.09.2008 19:35:42)
Уравнение Ферма это один из двух братьев близнецов.
Этих братьев порождает тождество:
(x+y-z)^p - x^p-y^p+z^p =
=p*(x+y)*(x-z)*(y-z)*W(x,y,z)
P-простое число
W(x,y,z)-целочисленная форма содержания единица.
Брат близнец уравнения Ферма выглядит как:
(x+y-z)^p=p*(x+y)*(x-z)*(y-z)*W(x,y,z)
Правая и левая часть уравнения близнеца имеют разное содержание свойств инвариантности.
форма p*(x+y)*(x-z)*(y-z)* -инвариантна относительно замены любого из трёх переменных на сумму всех трёх с обратным знаком.
(x,y,z)=(s,y,z)=(x,s,z)=(x,y,s)
s=-x-y+z
форма (x+y-z)^p - x^p-y^p+z^p так же инвариантна относительно такой замены.
W(x,y,z)-обладает свойством инвариантности суммы в силу того что справедливы два предыдущих утверждения которые легко проверяются при помощи соответственной подстановки.
Поэтому правая часть уравнения близнеца
p*(x+y)*(x-z)*(y-z)*W(x,y,z)
справедлива сразу для четырёх троек целых чисел:
(x,y,z)=(s,y,z)=(x,s,z)=(x,y,s)
А левая часть близнеца:
(x+y-z)^p
только для одной из этих троек.
В этом что то есть !!!
Не правда ли???
